Структурно устойчивый дифференцируемый гомеоморфизм сбесконечным множеством периодических точек
Опубликована Янв. 1, 2007
Последнее обновление статьи Дек. 12, 2022
Цель данного сообщения — определить на двумерной сфере S2 дифференцируемый гомеоморфизм, который, будучи структурно устойчивым в смысле Андронова–Понтрягина вместе с тем имеет периодические точки сколь угодно больших периодов и не локально связное минимальное множество.
Ключевые слова
Периодические точки, гомеоморфизм
Цель данного сообщения — определить на двумерной сфере S2 дифференцируемый гомеоморфизм, который, будучи структурно устойчивым в смысле Андронова–Понтрягина [1] вместе с тем имеет периодические точки сколь угодно больших периодов и не локально связное минимальное множество.
Согласно [2], это отвечает на вопрос, поставленный Андроновым (можно рассмотреть индуцированный поток на S2×S1).
Напомним определение структурной устойчивости. Два дифференцируемых (C∞) гомеоморфизма T, T1 замкнутого C∞ многообразиям называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм h : M → M такой, что hT = T1h. Они называются ε-эквивалентными, если гомеоморфизм h можно выбрать так, чтобы он отличался (в любой точке) от тождественного отображения менее, чем на ε. Пусть d1– это C1-метрика на пространстве τm дифференцируемых гомеоморфизмов многообразия M. Тогда T ∈ τm называется структурно устойчивым, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что все T1 ∈ τm, удовлетворяющие неравенству d1(T,T1) < δ, ε-эквиваленитны T.
Теперь мы опишем дифференцируемый гомеоморфизм T : S2 → S2 со свойствами, указанными выше. Для удобства мы задаём T на плоскости E2, понимая E2 как S2 \ p, где Tp = p
Дифференцируемый гомеоморфизм T преобразует области, как показано на рис. 1 (B → B1 и т.д.), и, кроме того, он удовлетворяет следующим условиям:
a) Матрица Якоби отображения T имеет собственные числа, по модулю меньшие единицы, на внешней части множества T−1(внешняя граница B) и на B1
b) T−1(S∩S1)представляет собой два вертикальных прямоугольника R1,R2 вS (как показано на рис. 2), и на каждом из этих прямоугольников отображение T является «почти» линейным: оно достаточно близко в C1-смысле к линейному отображению на R1,R2.
Теперь можно построить естественное взаимно-однозначное соответствие между точками множества K = ∩∞m=−∞Tm(S) и совокупностью всех бесконечных в обе стороны последовательностей из единичек и двоек с фиксированным положением «десятичной запятой»: . . . 1211, 21112... и т.д. При этом периодическим точкам в K соответствуют периодические последовательности. Исходя из указанного описания, можно получить нормальную форму для T и использовать её для построения гомеоморфизма, приведённого в данном примере.
Список литературы
[1] Андронов, А.А., Понтрягин, Л.С., Грубые системы, Докл. АН СССР, т. 14, №5, 1937, с. 247–250.
[2] Markus, L., On the behaviour of the Solutions of a Differential System Near a Periodic Solution, with Applications to the Theory of Structurally Stable Systems, Technical Report 8, O O R project 1469, University of Minnesota, 1959