Загрузка...

Эта статья опубликована под лицензией Creative Commons и не автором статьи. Поэтому если вы найдете какие-либо неточности, вы можете исправить их, обновив статью.

Загрузка...
Загрузка...

Структурно устойчивый дифференцируемый гомеоморфизм сбесконечным множеством периодических точек Creative Commons

Link for citation this article

С. Смейл

Нелинейная динамика, Год журнала: 2007, Номер 3(4), С. 445 - 446

Опубликована Янв. 1, 2007

Последнее обновление статьи Дек. 12, 2022

Эта статья опубликована под лицензией

License
Link for citation this article Похожие статьи

Аннотация

Цель данного сообщения — определить на двумерной сфере S2 дифференцируемый гомеоморфизм, который, будучи структурно устойчивым в смысле Андронова–Понтрягина вместе с тем имеет периодические точки сколь угодно больших периодов и не локально связное минимальное множество.

Ключевые слова

Периодические точки, гомеоморфизм

Цель данного сообщения — определить на двумерной сфере S2 дифференцируемый гомеоморфизм, который, будучи структурно устойчивым в смысле Андронова–Понтрягина [1] вместе с тем имеет периодические точки сколь угодно больших периодов и не локально связное минимальное множество.


Согласно [2], это отвечает на вопрос, поставленный Андроновым (можно рассмотреть индуцированный поток на S2×S1).


Напомним определение структурной устойчивости. Два дифференцируемых (C) гомеоморфизма T, T1 замкнутого C многообразиям называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм h : M → M такой, что hT = T1h. Они называются ε-эквивалентными, если гомеоморфизм h можно выбрать так, чтобы он отличался (в любой точке) от тождественного отображения менее, чем на ε. Пусть d1– это C1-метрика на пространстве τm дифференцируемых гомеоморфизмов многообразия M. Тогда T ∈ τm называется структурно устойчивым, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что все T1 ∈ τm, удовлетворяющие неравенству d1(T,T1) < δ, ε-эквиваленитны T.


Теперь мы опишем дифференцируемый гомеоморфизм T : S2 → S2 со свойствами, указанными выше. Для удобства мы задаём T на плоскости E2, понимая E2 как S2 \ p, где Tp = p


Дифференцируемый гомеоморфизм T преобразует области, как показано на рис. 1 (B → B1 и т.д.), и, кроме того, он удовлетворяет следующим условиям:


a) Матрица Якоби отображения T имеет собственные числа, по модулю меньшие единицы, на внешней части множества T−1(внешняя граница B) и на B1


b) T−1(S∩S1)представляет собой два вертикальных прямоугольника R1,R2 вS (как показано на рис. 2), и на каждом из этих прямоугольников отображение T является «почти» линейным: оно достаточно близко в C1-смысле к линейному отображению на R1,R2.


Теперь можно построить естественное взаимно-однозначное соответствие между точками множества K = ∩∞m=−∞Tm(S) и совокупностью всех бесконечных в обе стороны последовательностей из единичек и двоек с фиксированным положением «десятичной запятой»: . . . 1211, 21112... и т.д. При этом периодическим точкам в K соответствуют периодические последовательности. Исходя из указанного описания, можно получить нормальную форму для T и использовать её для построения гомеоморфизма, приведённого в данном примере.


Список литературы


[1] Андронов, А.А., Понтрягин, Л.С., Грубые системы, Докл. АН СССР, т. 14, №5, 1937, с. 247–250.


[2] Markus, L., On the behaviour of the Solutions of a Differential System Near a Periodic Solution, with Applications to the Theory of Structurally Stable Systems, Technical Report 8, O O R project 1469, University of Minnesota, 1959