Loading...

This article is published under a Creative Commons license, not by the author of the article. So if you find any inaccuracies, you can correct them by updating the article.

Loading...

Структурно устойчивый дифференцируемый гомеоморфизм сбесконечным множеством периодических точек Creative Commons

Link for citation this article Add this article in bookmark list
С. Смейл Американский математик, возглавлявший факультет математики Калифорнийского университета в Беркли в 1960—61 и 1964—95 годах, лауреат премии Филдса 1966 года. Поступил в Мичиганский университет в 1948 году, однако усваивал программу с большим трудом
Russian Journal of Nonlinear Dynamics, Journal Year: 2007, Volume and Issue: 3(4), P. 445 - 446

Published: Jan. 1, 2007

This article is published under the license License

Loading...
Link for citation this article Related Articles

Abstract

Цель данного сообщения — определить на двумерной сфере S2 дифференцируемый гомеоморфизм, который, будучи структурно устойчивым в смысле Андронова–Понтрягина вместе с тем имеет периодические точки сколь угодно больших периодов и не локально связное минимальное множество.

Keywords

Периодические точки, гомеоморфизм

Цель данного сообщения — определить на двумерной сфере S2 дифференцируемый гомеоморфизм, который, будучи структурно устойчивым в смысле Андронова–Понтрягина [1] вместе с тем имеет периодические точки сколь угодно больших периодов и не локально связное минимальное множество.


Согласно [2], это отвечает на вопрос, поставленный Андроновым (можно рассмотреть индуцированный поток на S2×S1).


Напомним определение структурной устойчивости. Два дифференцируемых (C) гомеоморфизма T, T1 замкнутого C многообразиям называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм h : M → M такой, что hT = T1h. Они называются ε-эквивалентными, если гомеоморфизм h можно выбрать так, чтобы он отличался (в любой точке) от тождественного отображения менее, чем на ε. Пусть d1– это C1-метрика на пространстве τm дифференцируемых гомеоморфизмов многообразия M. Тогда T ∈ τm называется структурно устойчивым, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что все T1 ∈ τm, удовлетворяющие неравенству d1(T,T1) < δ, ε-эквиваленитны T.


Теперь мы опишем дифференцируемый гомеоморфизм T : S2 → S2 со свойствами, указанными выше. Для удобства мы задаём T на плоскости E2, понимая E2 как S2 \ p, где Tp = p


Дифференцируемый гомеоморфизм T преобразует области, как показано на рис. 1 (B → B1 и т.д.), и, кроме того, он удовлетворяет следующим условиям:


a) Матрица Якоби отображения T имеет собственные числа, по модулю меньшие единицы, на внешней части множества T−1(внешняя граница B) и на B1


b) T−1(S∩S1)представляет собой два вертикальных прямоугольника R1,R2 вS (как показано на рис. 2), и на каждом из этих прямоугольников отображение T является «почти» линейным: оно достаточно близко в C1-смысле к линейному отображению на R1,R2.


Теперь можно построить естественное взаимно-однозначное соответствие между точками множества K = ∩∞m=−∞Tm(S) и совокупностью всех бесконечных в обе стороны последовательностей из единичек и двоек с фиксированным положением «десятичной запятой»: . . . 1211, 21112... и т.д. При этом периодическим точкам в K соответствуют периодические последовательности. Исходя из указанного описания, можно получить нормальную форму для T и использовать её для построения гомеоморфизма, приведённого в данном примере.


Список литературы


[1] Андронов, А.А., Понтрягин, Л.С., Грубые системы, Докл. АН СССР, т. 14, №5, 1937, с. 247–250.


[2] Markus, L., On the behaviour of the Solutions of a Differential System Near a Periodic Solution, with Applications to the Theory of Structurally Stable Systems, Technical Report 8, O O R project 1469, University of Minnesota, 1959